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MATHS · 3èmeCours gratuit

🧊 Volumes, sphères et agrandissements

Leçon complète · Fiche · Quiz

Le volume d'une boule

Une sphère est une surface : c'est l'ensemble des points situés à une même distance du centre. La boule est le solide plein délimité par cette sphère. Pour calculer un volume, on s'intéresse donc à la boule.

La formule à connaître par cœur est :

V = (4/3) × π × r³

où r est le rayon. Le rayon est élevé au cube (puissance 3), car un volume se mesure en trois dimensions.

🎮
Exemple
Boule de rayon r = 6 cm. V = (4/3) × π × 6³ = (4/3) × π × 216 = 288π ≈ 904,8 cm³.
⚠️
Piège
On utilise toujours le rayon, jamais le diamètre. Si l'énoncé donne un diamètre de 10 cm, le rayon vaut r = 5 cm avant de remplacer dans la formule.
💡
Astuce de pro
Calcule d'abord r³, puis multiplie par π, et enfin par 4/3. Garde une valeur exacte (avec π) tant que possible : tu n'arrondis qu'à la toute fin.

Agrandissement et réduction

Un agrandissement (ou une réduction) de rapport k multiplie toutes les longueurs par k : côtés, rayons, hauteurs, périmètres. La figure garde la même forme, seules ses dimensions changent.

Mais les aires et les volumes ne suivent pas le même rapport :

GrandeurMultipliée par
Longueursk
Airesk²
Volumesk³
🔍
Pourquoi ?
Une aire est un produit de deux longueurs : chacune est multipliée par k, donc l'aire est multipliée par k × k = k². Un volume est un produit de trois longueurs, donc il est multiplié par k × k × k = k³.
🎮
Exemple
On agrandit une boule avec le rapport k = 2 (le rayon double). Le rayon est multiplié par 2, l'aire de la sphère par 2² = 4, et le volume par 2³ = 8. Une boule deux fois plus large contient donc 8 fois plus de matière, pas 2 fois.
⚠️
Piège
L'erreur classique est de multiplier le volume par k au lieu de k³. Pour une réduction de rapport k = 1/2, le volume est divisé par 8, car (1/2)³ = 1/8.

Méthode pour les problèmes

Pour un problème d'agrandissement, on procède ainsi : 1. Repérer le rapport k (souvent k = nouvelle longueur ÷ ancienne longueur). 2. Identifier la grandeur cherchée : longueur, aire ou volume. 3. Choisir le bon facteur : k, k² ou k³.

🎮
Exemple
Un solide a un volume de 50 cm³. On l'agrandit avec k = 3. Nouveau volume : 50 × 3³ = 50 × 27 = 1350 cm³.
💡
Astuce de pro
Si l'on connaît le rapport des volumes et qu'on cherche k, on remonte : k³ = 8 donne k = 2, car 2³ = 8. De même, si les aires sont dans un rapport 9, alors k² = 9 donc k = 3.
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