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MATHS · 3èmeCours gratuit
📐 Équations du second degré - discriminant et racines
Leçon complète · Fiche · Quiz
Forme générale
Une s'écrit ax² + bx + c = 0 où a, b, c sont des réels et a ≠ 0.
🔍
Pourquoi ?
Le terme ax² (la puissance 2 de x) en fait une équation du "deuxième degré". Une telle équation peut avoir zéro, une ou deux solutions réelles.
Le discriminant
On calcule Δ = b² − 4ac. La valeur de Δ détermine le nombre de solutions :
- ▸Δ > 0 : deux solutions distinctes : x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
- ▸Δ = 0 : une solution double : x₀ = −b / (2a)
- ▸Δ < 0 : pas de solution réelle
🎮
Exemple
Résoudre x² − 5x + 6 = 0. On a a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1 > 0. Deux solutions : x₁ = (5 − 1) / 2 = 2 et x₂ = (5 + 1) / 2 = 3.
💡
Astuce de pro
Vérification rapide : la somme des racines vaut −b/a = 5 et leur produit vaut c/a = 6. Ici : 2 + 3 = 5 ✓ et 2 × 3 = 6 ✓.
Lien avec la factorisation
Quand Δ > 0, l'expression ax² + bx + c se factorise en a(x − x₁)(x − x₂).
🎮
Exemple
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). On peut vérifier en développant.
⚠️
Piège
Cette factorisation n'est possible que si l'équation admet des solutions réelles (Δ ≥ 0).
Méthode complète
1. Mettre l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 (tout à gauche). 2. Identifier a, b, c. 3. Calculer Δ = b² − 4ac. 4. Selon le signe de Δ, calculer 0, 1 ou 2 solutions.
⚠️
Piège
Ne pas oublier de tout ramener à 0 avant de calculer Δ. Avec x² = 5x − 6, on réécrit x² − 5x + 6 = 0.
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Questions fréquentes
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➗ Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles🔟 Puissances : propriétés et calculs🧮 Identités remarquables🧮 Factorisation d'expressions algébriques⚖️ Équations et équations-produit⚖️ Inéquations du premier degré📈 Fonctions : notion, image et antécédent📈 Fonctions linéaires et affines📐 Théorème de Thalès et sa réciproque📐 Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente📐 Pythagore : réciproque et applications🧊 Volumes, sphères et agrandissements📊 Statistiques : quartiles et interprétation🎲 Probabilités : calculs et arbres💻 Algorithmique et programmation (Scratch)🔢 Systèmes d'équations - résolution par substitution et combinaison√ Racines carrées - définition, calcul et simplification📊 Proportionnalité et pourcentages - coefficient multiplicateur, évolutions⭕ Angles inscrits et angles au centre📈 Fonctions - représentation graphique, lecture, taux de variation, monotonie🔄 Transformations géométriques - translation, rotation, homothétie🧊 Géométrie dans l'espace - sections de solides et représentations📊 Statistiques - moyenne pondérée, médiane, diagramme en boîte🎲 Probabilités conditionnelles et loi des grands nombres📐 Droites parallèles et propriétés d'angles (alternes-internes, co-internes)💻 Algorithmique - variables, boucles, conditions en pseudo-code et Python🧮 Calcul littéral - développement, réduction, expressions polynomiales📏 Lieux géométriques - médiatrice, bissectrice, cercle circonscrit🔭 Notation scientifique et calculs sur les grands/petits nombres