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➗ Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles
Diviseurs et multiples
Dire que le nombre 12 est un diviseur de 60 signifie qu'il existe un nombre entier qui, multiplié par 12, donne 60 (ici 5, car 5 x 12 = 60). On dit aussi que 60 est un multiple de 12. La division de 60 par 12 tombe juste, son reste est nul.
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers de la liste sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 s'écrit comme un produit de facteurs premiers, de façon unique. On divise successivement par les premiers nombres premiers.
Le PGCD
Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur, c'est-à-dire le plus grand entier qui les divise tous les deux à la fois.
Une méthode sûre est l'algorithme d'Euclide. On remplace le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit, et on recommence jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On dit alors qu'ils sont premiers entre eux.
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
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