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MATHS · 3èmeFiche gratuite
📌 Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
Diviseurs et multiples
b divise a si la division tombe juste (reste nul) ; on dit aussi que a est un multiple de b.
Diviseur·entier qui divise un autre sans reste. Ex : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont les diviseurs de 12.
Multiple·résultat de la multiplication d'un entier par un autre. Ex : 60 est un multiple de 12.
EXEMPLELes diviseurs de 12 vont par paires : (1 et 12), (2 et 6), (3 et 4).
2
Nombres premiers
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
💡Les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
💡2 est le seul nombre premier pair.
💡1 n'est pas premier (un seul diviseur).
💡Pour tester : essaie de diviser par 2, 3, 5, 7, 11… jusqu'à la racine carrée. ⚠️ Piège : 51 = 3 × 17 et 57 = 3 × 19 ne sont pas premiers.
PIÈGE51 = 3 × 17 et 57 = 3 × 19 : ces nombres ne sont pas premiers malgré leur apparence.
3
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 s'écrit de façon unique comme un produit de facteurs premiers.
1Divise par 2 tant que c'est possible
2Puis par 3, puis 5, puis les suivants
3Continue jusqu'à obtenir 1
EXEMPLE60 ÷ 2 = 30 → 30 ÷ 2 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 est premier. Donc 60 = 2² × 3 × 5.
EXEMPLE36 = 2² × 3². La décomposition ne contient que des facteurs premiers.
4
Le PGCD et l'algorithme d'Euclide
Le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur : le plus grand entier qui divise deux nombres à la fois.
1Divise le plus grand par le plus petit, note le reste
2Remplace le grand par le petit, et le petit par le reste
3Recommence jusqu'à obtenir un reste nul
4Le dernier reste non nul est le PGCD
EXEMPLEPGCD(60 ; 36) : 60 = 1×36+24 → 36 = 1×24+12 → 24 = 2×12+0. Donc PGCD = 12.
POURQUOI ÇA MARCHETout diviseur commun à deux nombres divise aussi leur reste. On travaille donc sur des nombres de plus en plus petits sans changer le PGCD.
5
Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
1Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur
2Divise le numérateur et le dénominateur par ce PGCD
3La fraction obtenue est irréductible
EXEMPLE60/36 : PGCD = 12 → 60÷12 = 5, 36÷12 = 3. Résultat : 5/3 (irréductible car PGCD(5;3) = 1).
ASTUCE CLÉDiviser directement par le PGCD simplifie en une seule étape, au lieu de simplifier plusieurs fois.
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