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MATHS · 3èmeCours gratuit
🧮 Factorisation d'expressions algébriques
Leçon complète · Fiche · Quiz
Factorisation d'expressions algébriques
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. C'est l'opération inverse du développement.
est très utile pour résoudre des équations et simplifier des fractions.
Méthode 1 : le facteur commun
On cherche un que l'on peut mettre en évidence.
🎮
Exemple
6x + 9. Les deux termes sont divisibles par 3 : 6x = 3 × 2x et 9 = 3 × 3. Donc 6x + 9 = 3(2x + 3).
Le facteur commun peut contenir une lettre.
🎮
Exemple
5x² + 10x. Ici 5x² = 5x × x et 10x = 5x × 2. Le facteur commun est 5x, donc 5x² + 10x = 5x(x + 2).
⚠️
Piège
N'oublie aucun terme ! Dans 7x² + 7x, le facteur commun est 7x. Quand on le met en facteur, il reste un terme dans la parenthèse pour chacun des deux termes de départ : 7x² + 7x = 7x(x + 1). Écrire 7x(x) serait faux, car cela ne vaut que 7x² et fait disparaître le second terme.
Méthode 2 : les identités remarquables
Quand il n'y a pas de facteur commun, on regarde si l'expression correspond à une . Trois modèles sont au programme :
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b)(a − b)
🎮
Exemple
x² + 6x + 9. On reconnaît a = x et b = 3 (car 9 = 3² et 6x = 2 × x × 3). Donc x² + 6x + 9 = (x + 3)².
🎮
Exemple
x² − 25 est une , avec a = x et b = 5 (car 25 = 5²). Donc x² − 25 = (x + 5)(x − 5).
🔍
Pourquoi ?
Reconnaître un carré ou une différence de carrés permet de factoriser sans facteur commun apparent, ce qui serait impossible autrement.
Choisir la stratégie
💡
Astuce de pro
Procède toujours dans cet ordre : d'abord, cherche un facteur commun. S'il n'y en a pas, regarde si tu reconnais une identité remarquable (un carré, ou une différence de deux carrés a² − b²).
⚠️
Piège
Le signe est essentiel : a² − b² se factorise, mais a² + b² ne se factorise pas en 3e. Une somme de deux carrés reste telle quelle.
Simplifier une fraction littérale
Une se simplifie en factorisant le haut et le bas, puis en supprimant le facteur commun.
🎮
Exemple
Simplifier (2x + 4) / (x + 2). On factorise le numérateur : 2x + 4 = 2(x + 2). Donc la fraction vaut 2(x + 2) / (x + 2) = 2 (pour x différent de −2).
⚠️
Piège
On ne peut simplifier que des facteurs (liés par une multiplication), jamais des termes additionnés. Dans (x + 3) / 3, on ne peut PAS « barrer » les 3, car au numérateur le 3 est ajouté, pas multiplié.
💡
Astuce de pro
Pour vérifier ta factorisation, redéveloppe le produit obtenu : tu dois retrouver l'expression de départ. C'est le meilleur moyen de ne pas se tromper.
Avec ces deux méthodes et le bon réflexe pour choisir, tu sauras factoriser et simplifier la plupart des expressions du programme de 3e.
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Questions fréquentes
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➗ Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles🔟 Puissances : propriétés et calculs🧮 Identités remarquables⚖️ Équations et équations-produit⚖️ Inéquations du premier degré📈 Fonctions : notion, image et antécédent📈 Fonctions linéaires et affines📐 Théorème de Thalès et sa réciproque📐 Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente📐 Pythagore : réciproque et applications🧊 Volumes, sphères et agrandissements📊 Statistiques : quartiles et interprétation🎲 Probabilités : calculs et arbres💻 Algorithmique et programmation (Scratch)🔢 Systèmes d'équations - résolution par substitution et combinaison√ Racines carrées - définition, calcul et simplification📐 Équations du second degré - discriminant et racines📊 Proportionnalité et pourcentages - coefficient multiplicateur, évolutions⭕ Angles inscrits et angles au centre📈 Fonctions - représentation graphique, lecture, taux de variation, monotonie🔄 Transformations géométriques - translation, rotation, homothétie🧊 Géométrie dans l'espace - sections de solides et représentations📊 Statistiques - moyenne pondérée, médiane, diagramme en boîte🎲 Probabilités conditionnelles et loi des grands nombres📐 Droites parallèles et propriétés d'angles (alternes-internes, co-internes)💻 Algorithmique - variables, boucles, conditions en pseudo-code et Python🧮 Calcul littéral - développement, réduction, expressions polynomiales📏 Lieux géométriques - médiatrice, bissectrice, cercle circonscrit🔭 Notation scientifique et calculs sur les grands/petits nombres