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MATHS · 3èmeCours gratuit

⚖️ Équations et équations-produit

Leçon complète · Fiche · Quiz

À quoi sert une équation ?

Une équation est une égalité qui contient une lettre, appelée l'inconnue (souvent notée x). . Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions. .

Résoudre une équation du premier degré

Une équation du premier degré s'écrit, après rangement, sous la forme ax + b = 0, où x n'apparaît qu'à la puissance 1 (jamais de x²). .

La règle de base est celle de la balance : on a le droit d'ajouter, de soustraire, de multiplier ou de diviser par un même nombre des deux côtés du signe égal, sans changer les solutions.

🎮
Exemple
Résolvons 5x − 3 = 2x + 9. On enlève 2x des deux côtés : 3x − 3 = 9. On ajoute 3 des deux côtés : 3x = 12. On divise par 3 : x = 4.
⚠️
Piège
Quand on fait « passer » un terme de l'autre côté, on change son signe : un + 3 qui change de côté devient − 3. C'est exactement la même chose que retirer 3 des deux côtés.
💡
Astuce de pro
Pour vérifier ta solution, remplace x par la valeur trouvée dans l'équation de départ. Avec x = 4 : 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17. Les deux côtés sont égaux, donc x = 4 est bien la solution.

Parfois il faut d'abord développer avant de résoudre. .

🎮
Exemple
4(x + 2) = 3x + 11 donne 4x + 8 = 3x + 11, puis x = 3.

Les équations-produit

Une équation-produit est une équation où un produit de facteurs est égal à 0, par exemple (x − 3)(2x + 1) = 0. .

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Pourquoi ?
On utilise une propriété très puissante : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nul. En effet, dès qu'on multiplie par 0, le résultat vaut 0 ; et inversement, si un produit vaut 0, c'est forcément qu'un des facteurs valait 0. .

Pour résoudre A × B = 0, on écrit donc : A = 0 ou B = 0, puis on résout chaque équation séparément.

🎮
Exemple
(x − 3)(2x + 1) = 0. Soit x − 3 = 0, soit 2x + 1 = 0. Premier cas : x = 3. Deuxième cas : 2x = −1, donc x = −0,5. Cette équation a deux solutions : 3 et −0,5.
⚠️
Piège
Cette méthode ne marche que si le produit est égal à zéro. Avec (x − 3)(2x + 1) = 5, on n'a pas le droit de dire « x − 3 = 5 ou 2x + 1 = 5 ». Il faudrait d'abord tout ramener à 0.

Mettre un problème en équation

Pour un problème, on suit quatre étapes : choisir l'inconnue (« je note x le nombre cherché »), traduire l'énoncé par une équation, résoudre, puis vérifier et répondre par une phrase.

🎮
Exemple
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 5 cm, et son périmètre vaut 50 cm. On note x la largeur. Alors la longueur est x + 5, et le périmètre est 2 × (x + (x + 5)) = 50. On obtient 4x + 10 = 50, donc 4x = 40 et x = 10. La largeur mesure 10 cm et la longueur 15 cm.
📌 Voir la fiche de révision🎮 Quiz d'essai gratuit

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➗ Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles🔟 Puissances : propriétés et calculs🧮 Identités remarquables🧮 Factorisation d'expressions algébriques⚖️ Inéquations du premier degré📈 Fonctions : notion, image et antécédent📈 Fonctions linéaires et affines📐 Théorème de Thalès et sa réciproque📐 Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente📐 Pythagore : réciproque et applications🧊 Volumes, sphères et agrandissements📊 Statistiques : quartiles et interprétation🎲 Probabilités : calculs et arbres💻 Algorithmique et programmation (Scratch)🔢 Systèmes d'équations - résolution par substitution et combinaison√ Racines carrées - définition, calcul et simplification📐 Équations du second degré - discriminant et racines📊 Proportionnalité et pourcentages - coefficient multiplicateur, évolutions⭕ Angles inscrits et angles au centre📈 Fonctions - représentation graphique, lecture, taux de variation, monotonie🔄 Transformations géométriques - translation, rotation, homothétie🧊 Géométrie dans l'espace - sections de solides et représentations📊 Statistiques - moyenne pondérée, médiane, diagramme en boîte🎲 Probabilités conditionnelles et loi des grands nombres📐 Droites parallèles et propriétés d'angles (alternes-internes, co-internes)💻 Algorithmique - variables, boucles, conditions en pseudo-code et Python🧮 Calcul littéral - développement, réduction, expressions polynomiales📏 Lieux géométriques - médiatrice, bissectrice, cercle circonscrit🔭 Notation scientifique et calculs sur les grands/petits nombres