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📐 Théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès sert à calculer des longueurs dans une figure où l'on a des droites parallèles. C'est un outil très puissant en géométrie.
La configuration
On considère deux droites sécantes en un point A. Une première droite passe par les points B et M, la seconde par les points C et N. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles.
L'énoncé exact
Soit deux droites sécantes en A. B et M sont sur l'une, C et N sur l'autre. Si (BC) // (MN), alors :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
La configuration papillon
Parfois les deux triangles sont de part et d'autre du point A : c'est la configuration papillon (ou « nœud papillon »). Le point A est alors situé entre B et M sur la première droite, et entre C et N sur la seconde.
La réciproque du théorème de Thalès
La réciproque sert, à l'inverse, à démontrer que deux droites sont parallèles.
Énoncé : si les points A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés dans le même ordre, et si $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},$$ alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Retiens bien : le théorème direct calcule des longueurs (il faut le parallélisme au départ), la réciproque démontre le parallélisme (il faut l'égalité des rapports au départ).
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