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MATHS · 3èmeCours gratuit
√ Racines carrées - définition, calcul et simplification
Leçon complète · Fiche · Quiz
Définition de la racine carrée
La d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
En d'autres termes : (√a)² = a et √a ≥ 0.
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Exemple
√25 = 5 car 5² = 25. √81 = 9 car 9² = 81. √2 ≈ 1,414 (valeur approchée).
⚠️
Piège
√9 = 3, pas −3. Par convention, √a désigne TOUJOURS la racine positive (appelée racine carrée arithmétique). La valeur −3 vérifie aussi (−3)² = 9, mais on ne l'appelle pas racine carrée.
⚠️
Piège
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. √(−4) n'a aucune valeur réelle.
Propriétés de calcul
Produit : √(a × b) = √a × √b
Quotient : √(a / b) = √a / √b (avec b > 0)
🎮
Exemple
√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6. Vérification : √36 = 6 ✓.
⚠️
Piège
√(a + b) ≠ √a + √b. Par exemple √(4 + 9) = √13 ≠ 2 + 3 = 5. Cette erreur est très fréquente.
Simplifier une racine carrée
Pour simplifier √n, on cherche le plus grand carré parfait qui divise n, puis on l'extrait.
🎮
Exemple
Simplifier √72. On cherche : 72 = 36 × 2 (36 est le plus grand carré parfait diviseur de 72). Donc √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2.
💡
Astuce de pro
Pour trouver le plus grand carré parfait diviseur, décompose en facteurs premiers : 72 = 2³ × 3² = 4 × 18 = 36 × 2. Le carré parfait est 2² × 3² = 36.
Comparer et ordonner des racines
Pour comparer des radicaux, on peut comparer leurs carrés (car la fonction carrée est croissante pour des valeurs positives).
🎮
Exemple
Comparer 3√2 et 2√3. (3√2)² = 9 × 2 = 18 et (2√3)² = 4 × 3 = 12. Comme 18 > 12, on a 3√2 > 2√3.
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Questions fréquentes
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➗ Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles🔟 Puissances : propriétés et calculs🧮 Identités remarquables🧮 Factorisation d'expressions algébriques⚖️ Équations et équations-produit⚖️ Inéquations du premier degré📈 Fonctions : notion, image et antécédent📈 Fonctions linéaires et affines📐 Théorème de Thalès et sa réciproque📐 Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente📐 Pythagore : réciproque et applications🧊 Volumes, sphères et agrandissements📊 Statistiques : quartiles et interprétation🎲 Probabilités : calculs et arbres💻 Algorithmique et programmation (Scratch)🔢 Systèmes d'équations - résolution par substitution et combinaison📐 Équations du second degré - discriminant et racines📊 Proportionnalité et pourcentages - coefficient multiplicateur, évolutions⭕ Angles inscrits et angles au centre📈 Fonctions - représentation graphique, lecture, taux de variation, monotonie🔄 Transformations géométriques - translation, rotation, homothétie🧊 Géométrie dans l'espace - sections de solides et représentations📊 Statistiques - moyenne pondérée, médiane, diagramme en boîte🎲 Probabilités conditionnelles et loi des grands nombres📐 Droites parallèles et propriétés d'angles (alternes-internes, co-internes)💻 Algorithmique - variables, boucles, conditions en pseudo-code et Python🧮 Calcul littéral - développement, réduction, expressions polynomiales📏 Lieux géométriques - médiatrice, bissectrice, cercle circonscrit🔭 Notation scientifique et calculs sur les grands/petits nombres