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MATHS · 3èmeFiche gratuite
📌 Racines carrées - définition, calcul et simplification
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
Définition de √a
√a est le nombre positif dont le carré vaut a.
√radical
aradicande (≥ 0)
= btel que b² = a et b ≥ 0
⚠️ CONVENTION√9 = 3, pas −3. La racine carrée désigne TOUJOURS la valeur positive. Et √(−4) n'existe pas dans les réels.
2
Carrés parfaits à connaître
Les reconnaître permet de simplifier n'importe quelle racine.
Entier
Carré parfait
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
10
100
3
Propriétés de calcul
La racine se sépare sur un produit ou un quotient (√(ab) = √a × √b), mais jamais sur une somme.
PropriétéExemple
√(a × b) = √a × √b√(4×9) = √4 × √9 = 2×3 = 6
√(a / b) = √a / √b√(100/25) = 10/5 = 2
⚠️ ERREUR CLASSIQUE√(a + b) ≠ √a + √b. Exemple : √(4 + 9) = √13 ≈ 3,6 ≠ 2 + 3 = 5. Ne jamais distribuer la racine sur une somme.
4
Simplifier une racine carrée
On extrait le plus grand carré parfait qui divise le radicande.
1Trouver le plus grand carré parfait k² qui divise n
2Écrire
n = k² × r3Appliquer :
√n = √(k² × r) = k × √rEXEMPLESimplifier √72 : 72 = 36 × 2 (36 est le plus grand carré parfait diviseur). Donc √72 = √36 × √2 = 6√2.
ASTUCEDécompose en facteurs premiers pour trouver le bon carré parfait : 72 = 2³ × 3² → carré parfait = 2² × 3² = 36.
5
Comparer des radicaux
Pour comparer des expressions avec des racines, on compare leurs carrés.
1Calculer le carré de chaque expression
2Comparer les résultats (valeurs positives → ordre conservé)
EXEMPLEComparer 3√2 et 2√3 : (3√2)² = 9×2 = 18 et (2√3)² = 4×3 = 12. Comme 18 > 12, on conclut 3√2 > 2√3.
💡Comparer les carrés fonctionne car toutes les valeurs sont positives.
💡Une valeur approchée (ex : √2 ≈ 1,414) peut servir à vérifier, mais la comparaison par les carrés est exacte.
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