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MATHS · 3èmeCours gratuit
🔢 Systèmes d'équations - résolution par substitution et combinaison
Leçon complète · Fiche · Quiz
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un contient deux équations avec deux inconnues, souvent notées x et y. Résoudre le système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations à la fois.
🔍
Pourquoi ?
Une seule équation à deux inconnues admet une infinité de solutions. En imposant une deuxième contrainte (la deuxième équation), on « fixe » le couple solution, souvent unique.
Méthode 1 : la substitution
On isole une inconnue dans l'une des équations, puis on remplace dans l'autre.
🎮
Exemple
Résoudre le système : { x + y = 10 ; 3x − y = 2 }.
De la première équation : y = 10 − x. On remplace dans la deuxième : 3x − (10 − x) = 2, soit 4x − 10 = 2, donc 4x = 12 et x = 3. Puis y = 10 − 3 = 7.
Solution : (3 ; 7).
💡
Astuce de pro
Choisir l'inconnue la plus facile à isoler (coefficient 1 ou −1) réduit les erreurs de calcul.
Méthode 2 : la combinaison (ou addition)
On cherche des coefficients qui rendent les coefficients d'une inconnue opposés dans les deux équations, puis on additionne membre à membre pour éliminer cette inconnue.
🎮
Exemple
Résoudre : { 2x + 3y = 11 ; 4x − 3y = 7 }.
Les coefficients de y sont déjà opposés (+3 et −3). On additionne : 6x = 18, donc x = 3. Puis 2(3) + 3y = 11, soit 3y = 5 et y = 5/3.
Solution : (3 ; 5/3).
💡
Astuce de pro
Si les coefficients d'une inconnue ne sont pas opposés, multiplier une équation par un scalaire approprié. Par exemple pour éliminer x dans { 2x + y = 5 ; 3x − y = 1 }, on multiplie la première par 3 et la deuxième par −2 pour avoir +6x et −6x.
Vérification et rédaction
⚠️
Piège
Toujours vérifier en substituant le couple trouvé dans chacune des deux équations de départ. Si une équation n'est pas vérifiée, il y a une erreur.
🎮
Exemple
Vérification de (3 ; 7) dans { x + y = 10 ; 3x − y = 2 } : 3 + 7 = 10 ✓ et 3(3) − 7 = 2 ✓.
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Questions fréquentes
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➗ Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles🔟 Puissances : propriétés et calculs🧮 Identités remarquables🧮 Factorisation d'expressions algébriques⚖️ Équations et équations-produit⚖️ Inéquations du premier degré📈 Fonctions : notion, image et antécédent📈 Fonctions linéaires et affines📐 Théorème de Thalès et sa réciproque📐 Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente📐 Pythagore : réciproque et applications🧊 Volumes, sphères et agrandissements📊 Statistiques : quartiles et interprétation🎲 Probabilités : calculs et arbres💻 Algorithmique et programmation (Scratch)√ Racines carrées - définition, calcul et simplification📐 Équations du second degré - discriminant et racines📊 Proportionnalité et pourcentages - coefficient multiplicateur, évolutions⭕ Angles inscrits et angles au centre📈 Fonctions - représentation graphique, lecture, taux de variation, monotonie🔄 Transformations géométriques - translation, rotation, homothétie🧊 Géométrie dans l'espace - sections de solides et représentations📊 Statistiques - moyenne pondérée, médiane, diagramme en boîte🎲 Probabilités conditionnelles et loi des grands nombres📐 Droites parallèles et propriétés d'angles (alternes-internes, co-internes)💻 Algorithmique - variables, boucles, conditions en pseudo-code et Python🧮 Calcul littéral - développement, réduction, expressions polynomiales📏 Lieux géométriques - médiatrice, bissectrice, cercle circonscrit🔭 Notation scientifique et calculs sur les grands/petits nombres