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MATHS · 3èmeFiche gratuite
📌 Systèmes d'équations - résolution par substitution et combinaison
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
C'est quoi un système d'équations ?
Deux équations, deux inconnues : on cherche le couple (x ; y) qui vérifie les deux à la fois.
POURQUOI deux équations ?Une seule équation à deux inconnues a une infinité de solutions. La deuxième équation « fixe » le couple solution, souvent unique.
Système·Ensemble de deux équations à deux inconnues, noté { équation 1 ; équation 2 }
Solution·Couple (x ; y) qui rend les deux équations vraies simultanément
2
Méthode 1 : la substitution
On isole une inconnue, puis on la remplace dans l'autre équation.
1Isoler une inconnue dans l'une des équations (choisir un coefficient 1 ou −1 si possible)
2Remplacer cette expression dans l'autre équation
3Résoudre l'équation obtenue à une seule inconnue
4Calculer la deuxième inconnue par substitution
EXEMPLESystème { x + y = 10 ; 3x − y = 2 }. De la 1re :
y = 10 − x. On remplace : 3x − (10 − x) = 2 → 4x = 12 → x = 3, puis y = 7. Solution : (3 ; 7).3
Méthode 2 : la combinaison
On multiplie les équations par des coefficients pour éliminer une inconnue par addition.
1Choisir l'inconnue à éliminer
2Multiplier chaque équation par un coefficient pour que les coefficients de cette inconnue soient opposés
3Additionner membre à membre : l'inconnue disparaît
4Résoudre, puis calculer la deuxième inconnue
EXEMPLESystème { 2x + 3y = 11 ; 4x − 3y = 7 }. Les y sont déjà opposés (+3 et −3). Addition :
6x = 18 → x = 3. Puis 3y = 5 → y = 5/3.4
Choisir la bonne méthode
Utiliser la substitution quand…Utiliser la combinaison quand…
Un coefficient vaut **1** ou **−1**Les coefficients sont plus grands
Une inconnue est facile à isolerLes coefficients d'une inconnue sont déjà opposés
5
Toujours vérifier
Substituer le couple trouvé dans chacune des deux équations de départ.
⚠️ PIÈGENe vérifier que dans une seule équation ne suffit pas. Si une des deux n'est pas vérifiée, il y a une erreur de calcul.
VÉRIFICATIONSolution (3 ; 7) dans { x + y = 10 ; 3x − y = 2 } :
3 + 7 = 10 ✓ et 3×3 − 7 = 2 ✓.6
Cas particuliers et contexte
💡Un système peut avoir une solution unique, aucune solution (équations contradictoires) ou une infinité (équations identiques).
💡En problème de contexte : poser x = première grandeur et y = deuxième grandeur, traduire l'énoncé en deux équations, résoudre, puis répondre à la question posée.
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