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🔒📐 Pythagore : réciproque et applications
Pythagore : réciproque et applications
En 3e, tu connais déjà le théorème de Pythagore direct. Il permet de calculer une longueur dans un triangle dont on sait qu'il est rectangle. Mais il existe une autre question : comment prouver qu'un triangle est rectangle quand on connaît seulement ses trois côtés ? C'est le rôle de la réciproque.
Le théorème direct (rappel)
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Ici BC est l'hypoténuse. On s'en sert pour trouver une longueur manquante.
La réciproque
Réciproque du théorème de Pythagore : dans un triangle ABC, si BC² = AB² + AC² (BC étant le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en A.
La méthode en 3 temps
1. Repérer le plus grand côté. 2. Calculer d'un côté le carré de ce plus grand côté, et de l'autre côté la somme des carrés des deux autres. 3. Comparer les deux résultats et conclure.
La contraposée : prouver qu'un triangle n'est PAS rectangle
Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle. C'est très utile pour répondre « non » avec une vraie démonstration.
Calculs combinés
Dans un exercice, on enchaîne souvent les deux outils : la réciproque pour montrer qu'un triangle est rectangle, puis le théorème direct dans un autre triangle de la figure pour calculer une longueur.
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