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MATHS · 3èmeFiche gratuite
📌 Équations du second degré - discriminant et racines
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
Forme générale
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
acoefficient de x² (≠ 0)
x²terme du second degré
+ bxterme du premier degré
+ cterme constant
POURQUOILa puissance 2 de x en fait une équation du "deuxième degré". Elle peut avoir zéro, une ou deux solutions réelles.
2
Le discriminant Δ
On calcule Δ = b² − 4ac pour savoir combien de solutions existe.
Signe de Δ
Nombre de solutions
Formule
Δ > 0
2 solutions distinctes
x₁ = (−b − √Δ) / (2a)
x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
Δ = 0
1 solution double
x₀ = −b / (2a)
Δ < 0
Aucune solution réelle
·
3
Exemple complet
Résoudre x² − 5x + 6 = 0 pas à pas.
1Identifier : a = 1, b = −5, c = 6
2Calculer Δ : (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
3Δ > 0 → deux solutions
4x₁ = (5 − 1) / 2 = 2 et x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
VÉRIFICATIONSomme : 2 + 3 = 5 = −b/a ✓ : Produit : 2 × 3 = 6 = c/a ✓
4
Vérification par somme et produit
Quand l'équation a deux racines x₁ et x₂, on peut vérifier rapidement.
RelationFormule
Somme des racinesx₁ + x₂ = −b/a
Produit des racinesx₁ × x₂ = c/a
EXEMPLEPour x² − 5x + 6 = 0 : somme = −(−5)/1 = 5 et produit = 6/1 = 6. On vérifie que 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6.
5
Factorisation
Quand Δ ≥ 0, on peut factoriser le trinôme.
RÈGLESi Δ > 0 :
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)⚠️ ATTENTIONCette factorisation n'est possible que si Δ ≥ 0 (l'équation admet des solutions réelles). Si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas dans les réels.
6
Méthode complète
Toujours suivre ces 4 étapes dans l'ordre.
1Mettre l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 (tout à gauche)
2Identifier a, b, c
3Calculer Δ = b² − 4ac
4Selon le signe de Δ : calculer 0, 1 ou 2 solutions
⚠️ PIÈGEAvec x² = 5x − 6, ne pas calculer Δ directement ! Réécrire d'abord : x² − 5x + 6 = 0
💡Le coefficient a ne peut jamais être 0, sinon ce n'est plus une équation du second degré
💡Si b = 0 ou c = 0, la formule s'applique quand même, en mettant 0 à la place
💡Quand Δ = 0, on parle de racine double (x₀ compté deux fois)
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