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MATHS · 4èmeCours gratuit

📏 Théorème de Thalès et sa réciproque

Leçon complète · Fiche · Quiz

Situation de Thalès

Le s'applique dans une configuration précise : deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.

Concrètement : si (DE) est parallèle à (BC) dans un triangle ABC, avec D sur [AB] et E sur [AC], alors les longueurs sont proportionnelles :

AD/AB = AE/AC = DE/BC

🎮
Exemple
Dans un triangle ABC, (DE) est parallèle à (BC) avec AD = 3 cm, AB = 6 cm et AC = 8 cm. Par Thalès : AE/AC = AD/AB, donc AE = (AD × AC) / AB = (3 × 8) / 6 = 4 cm.
🔍
Pourquoi ?
Ce théorème traduit une situation de proportionnalité : les droites parallèles « découpent » les sécantes en portions proportionnelles. Il généralise l'idée d'agrandissement ou réduction.

Utiliser le théorème

Pour appliquer Thalès, il faut : 1. Identifier la configuration (sommet + deux droites parallèles). 2. Écrire les rapports égaux correspondants. 3. Isoler la longueur inconnue et calculer.

💡
Astuce de pro
Repère toujours les deux rapports qui ne contiennent pas la longueur cherchée, égalise-les, puis résous par produit en croix.
⚠️
Piège
L'ordre des sommets dans les rapports est crucial : AD/AB correspond à AE/AC, pas l'inverse. Un ratio faux donne un résultat absurde.

La réciproque : reconnaître le parallélisme

La fonctionne dans l'autre sens : on connaît les longueurs, on veut savoir si les droites sont parallèles.

Si AD/AB = AE/AC (et que D est sur [AB] et E sur [AC]), alors (DE) est parallèle à (BC).

🎮
Exemple
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] avec AD = 2 cm, DB = 4 cm, et E est sur [AC] avec AE = 3 cm, EC = 6 cm. Alors AB = 6 cm et AC = 9 cm. On vérifie : AD/AB = 2/6 = 1/3 et AE/AC = 3/9 = 1/3. Les rapports sont égaux, donc (DE) // (BC).
⚠️
Piège
Pour utiliser la réciproque, les points D et E doivent se trouver sur les côtés du triangle (ou leurs prolongements) et non à n'importe quelle position.
📌 Voir la fiche de révision🎮 Quiz d'essai gratuit

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