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MATHS · 4èmeFiche gratuite
📌 Théorème de Thalès et sa réciproque
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
La configuration de Thalès
Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles : voilà la situation de départ.
Droites sécantes·deux droites qui se coupent en un seul point (ici le sommet A du triangle)
Droites parallèles·deux droites qui ne se croisent jamais : ici (DE) // (BC)
Configuration standard·triangle ABC avec D sur [AB] et E sur [AC], tel que (DE) est parallèle à (BC)
2
L'égalité des rapports
Quand (DE) // (BC), les longueurs sont proportionnelles : trois rapports sont égaux.
AD/ABrapport sur [AB]
=
AE/ACrapport sur [AC]
=
DE/BCrapport des côtés parallèles
EXEMPLE(DE) // (BC), AD = 3 cm, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Par Thalès : AE = (AD × AC) / AB = (3 × 8) / 6 = 4 cm.
3
Méthode pour calculer une longueur
Trois étapes pour ne pas se tromper.
1Identifier la configuration : sommet + deux droites parallèles
2Écrire les rapports égaux (AD/AB = AE/AC = DE/BC)
3Isoler la longueur inconnue par produit en croix et calculer
⚠️ ORDRE CRUCIALAD/AB correspond à AE/AC. L'ordre des points est fondamental : un mauvais ratio donne un résultat absurde.
4
Piège classique à éviter
⚠️ PIÈGEOn compare grandes longueurs entre elles et petites entre elles :
AD/AB = AE/AC, jamais AD/AE = AB/AC. Repère toujours les deux rapports sans l'inconnue, égalise-les, puis résous.5
La réciproque : prouver le parallélisme
On connaît les longueurs et on veut démontrer que deux droites sont parallèles.
1Calculer séparément AD/AB et AE/AC (avec D sur [AB] et E sur [AC])
2Vérifier que les deux rapports sont égaux
3Conclure : si AD/AB = AE/AC, alors (DE) // (BC)
EXEMPLEAD = 2, AB = 6, AE = 3, AC = 9 → AD/AB = 1/3 et AE/AC = 1/3. Rapports égaux, donc (DE) // (BC).
6
À retenir
💡Thalès = proportionnalité, pas angle droit : ne pas confondre avec Pythagore
💡Pour la réciproque, D et E doivent être sur les côtés du triangle (pas n'importe où)
💡Vérifie toujours l'ordre des sommets dans les rapports avant de calculer
💡Le théorème traduit une situation d'agrandissement / réduction : les parallèles découpent les sécantes proportionnellement
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