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⚖️ Équations du premier degré à une inconnue

Leçon complète · Fiche · Quiz

Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, presque toujours noté x. . Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Une telle valeur s'appelle une solution. .

En 4e, on apprend à résoudre les équations de la forme ax + b = cx + d, où les deux côtés (appelés membres) contiennent des x. .

La règle d'or : garder l'équilibre

Imagine une balance en équilibre. Si tu ajoutes ou retires la même chose des deux côtés, elle reste équilibrée. C'est exactement ce qu'on fait avec une équation.

Deux opérations autorisées : 1. Ajouter ou soustraire le même nombre (ou le même terme en x) dans les deux membres. 2. Diviser les deux membres par un même nombre non nul.

🔍
Pourquoi ?
Ces opérations ne changent pas les solutions : une égalité vraie reste vraie si on traite ses deux membres de façon identique.

Méthode pas à pas

Résolvons 5x + 2 = 3x + 8.

Étape 1 : regrouper les x dans un seul membre. On soustrait 3x des deux côtés : 5x - 3x + 2 = 8, donc 2x + 2 = 8.

Étape 2 : regrouper les nombres dans l'autre membre. On soustrait 2 des deux côtés : 2x = 8 - 2, donc 2x = 6.

Étape 3 : isoler x en divisant par son coefficient 2. . x = 6 ÷ 2, donc x = 3.

💡
Astuce de pro
Quand un terme « change de membre » en passant de l'autre côté du signe égal, il change de signe : +2 devient -2, et +3x devient -3x. C'est juste un raccourci pour dire « j'ajoute ou je soustrais la même chose des deux côtés ».

La vérification : indispensable

Après avoir trouvé x, on vérifie en remplaçant x par sa valeur dans l'équation de départ. .

🎮
Exemple
Pour x = 3 dans 5x + 2 = 3x + 8 : Membre de gauche : 5 × 3 + 2 = 17. Membre de droite : 3 × 3 + 8 = 17. Les deux membres sont égaux à 17, donc x = 3 est bien la solution.
⚠️
Piège
Le coefficient devant x peut être négatif et la solution aussi. Par exemple, 4x + 7 = 2x + 1 donne 2x = -6, donc x = -3. Une solution négative est tout à fait normale.

Mettre un problème en équation

Beaucoup d'exercices sont des énoncés en français qu'il faut traduire en équation. La démarche : 1. Choisir l'inconnue : « Soit x le nombre cherché ». 2. Traduire l'énoncé en une égalité. 3. Résoudre, puis vérifier que la réponse a un sens.

🎮
Exemple
« Je pense à un nombre. Si je le multiplie par 3 puis j'ajoute 4, j'obtiens le même résultat qu'en doublant ce nombre et en ajoutant 10. » On écrit : 3x + 4 = 2x + 10. On résout : x = 6. Vérification : 3 × 6 + 4 = 22 et 2 × 6 + 10 = 22. Le nombre est 6.

Maîtriser ces équations, c'est se donner un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie, de prix ou d'âges au collège comme au lycée.

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