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MATHS · 4èmeCours gratuit

🔟 Puissances de 10 et notation scientifique

Leçon complète · Fiche · Quiz

Les puissances de 10

Une puissance de 10 est une écriture courte pour un produit de plusieurs 10 (ou de plusieurs 0,1). L'exposant indique combien de fois on multiplie.

Pour un : 10^n est le chiffre 1 suivi de n zéros. Ainsi 10^4 = 10 000 et 10^1 = 10.

🎮
Exemple
10^6 = 1 000 000 (un million). On compte 6 zéros.

Pour un : 10^(-n) = 1 / 10^n. C'est un nombre plus petit que 1. Ainsi 10^(-3) = 1 / 1000 = 0,001.

⚠️
Piège
L'exposant négatif ne donne jamais un nombre négatif : 10^(-2) = 0,01, qui est positif. Le signe moins agit sur la position de la virgule, pas sur le signe du résultat.

Un cas spécial à mémoriser : 10^0 = 1.

Les trois propriétés de calcul

Pour multiplier deux puissances de 10, on additionne les exposants : 10^a × 10^b = 10^(a+b). [EXEMPLE] 10^5 × 10^3 = 10^8.

Pour diviser, on soustrait les exposants : 10^a ÷ 10^b = 10^(a−b). [EXEMPLE] 10^7 ÷ 10^2 = 10^5.

Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : (10^a)^b = 10^(a×b). [EXEMPLE] (10^3)^2 = 10^6.

🔍
Pourquoi ?
Ces règles fonctionnent aussi avec les exposants négatifs : 10^2 × 10^(-5) = 10^(2−5) = 10^(−3). On additionne toujours, même quand un nombre est négatif.

La notation scientifique

La sert à écrire simplement les très grands et les très petits nombres. C'est la forme a × 10^n où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre, non nul, avant la virgule) et n un entier relatif.

Le nombre a s'appelle le .

🎮
Exemple
32 000 = 3,2 × 10^4 et 0,00045 = 4,5 × 10^(−4).
💡
Astuce de pro
Pour trouver l'exposant, comptez de combien de rangs la virgule se déplace pour ramener un seul chiffre devant elle. Vers la gauche (grand nombre) : exposant positif. Vers la droite (petit nombre) : exposant négatif.
⚠️
Piège
12 × 10^5 n'est pas en notation scientifique, car 12 n'est pas compris entre 1 et 10. Il faut corriger : 12 × 10^5 = 1,2 × 10^6.

Comparer en notation scientifique

Pour comparer deux nombres positifs écrits en notation scientifique, on regarde d'abord l'exposant : le plus grand exposant donne le plus grand nombre.

🎮
Exemple
3,5 × 10^6 > 7,2 × 10^5, car 6 > 5, même si 7,2 est plus grand que 3,5.

Si les exposants sont égaux, on compare alors les mantisses. Cette méthode est rapide et évite d'écrire tous les zéros.

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