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🔒📐 Théorème de Pythagore et sa réciproque
Le triangle rectangle et son vocabulaire
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est toujours celui qui est opposé à l'angle droit : on l'appelle l'. Les deux autres côtés forment l'angle droit. Bien repérer l'hypoténuse est la clé de tout le chapitre.
Le théorème de Pythagore
Le dit : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Pour un triangle rectangle en A, on écrit : BC² = AB² + AC², où BC est l'hypoténuse.
Calculer une longueur
Pour l'hypoténuse : triangle rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5 cm.
Pour un autre côté : triangle rectangle en A, hypoténuse BC = 10 cm et AB = 6 cm. Ici, on isole le côté cherché : AC² = BC² − AB² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc AC = √64 = 8 cm.
La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
La fonctionne dans l'autre sens : on connaît les trois longueurs et on veut savoir si l'angle droit existe.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (et l'angle droit est opposé au plus grand côté).
La contraposée : prouver qu'un triangle n'est PAS rectangle
La sert à conclure le contraire :
Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
Une bonne calcule bien les deux membres à part avant de comparer : c'est ce qui est attendu et noté au collège.
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