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MATHS · 4èmeCours gratuit

🔍 Homothétie : transformation, centre et rapport

Leçon complète · Fiche · Quiz

Qu'est-ce qu'une homothétie ?

Une est une transformation qui multiplie toutes les distances à un point fixe par un même nombre k, appelé le rapport.

Elle est définie par : - un centre O (le point fixe), - un rapport k (un nombre non nul).

L'image M' d'un point M est définie par : OM' = k × OM, et O, M, M' sont .

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image M' de M par l'homothétie de centre O et de rapport k : 1. Tracer la demi-droite [OM). 2. Placer M' sur cette droite tel que OM' = k × OM.

🎮
Exemple
Si k = 2 et OM = 3 cm, alors OM' = 6 cm, dans la même direction que OM.
🎮
Exemple
Si k = −1, M' est à la même distance de O que M, mais du côté opposé. C'est une symétrie centrale de centre O.
🔍
Pourquoi ?
Quand k est positif, M' est du même côté de O que M. Quand k est négatif, M' est de l'autre côté. Quand |k| > 1, la figure s'agrandit ; quand |k| < 1, elle se réduit.

Propriétés de l'homothétie

Une homothétie de rapport k : - multiplie toutes les longueurs par |k| (valeur absolue de k), - conserve les angles, - conserve le parallélisme (les droites images sont parallèles aux droites d'origine), - transforme un cercle de rayon r en un cercle de rayon |k| × r.

⚠️
Piège
Si k = 1, l'homothétie est l'identité (chaque point est son propre image). Si k = −1, c'est une symétrie centrale de centre O.

Lien avec les agrandissements et réductions

L'homothétie formalise mathématiquement ce qu'on appelle en pratique un agrandissement (|k| > 1) ou une réduction (|k| < 1). Le rapport k est exactement le coefficient k vu au chapitre « Agrandissement et réduction de figures ».

🎮
Exemple
Une carte à l'échelle 1/25 000 est une homothétie de rapport 1/25 000 (réduction). L'image d'un terrain de 500 m mesure 500/25 000 = 0,02 m = 2 cm sur la carte.
💡
Astuce de pro
Pour trouver le rapport d'une homothétie à partir de deux figures, mesure une longueur dans l'image et la longueur correspondante dans l'original : k = longueur image / longueur originale.
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