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MATHS · 4èmeFiche gratuite
📌 Nombres premiers, divisibilité et PGCD
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
Diviseurs et multiples
b divise a quand la division a ÷ b a un reste nul.
Diviseur·b est un diviseur de a si a ÷ b a un reste nul. Ex : 6 est un diviseur de 24.
Multiple·a est un multiple de b si b le divise. Ex : 24 est un multiple de 6.
EXEMPLE
24 ÷ 6 = 4 (reste 0) → 6 est un diviseur de 24, et 24 est un multiple de 6.2
Critères de divisibilité
Des règles rapides pour tester la divisibilité sans faire la division.
Diviseur
Critère
2
dernier chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8)
5
dernier chiffre 0 ou 5
10
dernier chiffre 0
3
somme des chiffres divisible par 3
9
somme des chiffres divisible par 9
4
deux derniers chiffres divisibles par 4
EXEMPLE372 : somme 3+7+2 = 12 → divisible par 3. Deux derniers chiffres : 72 ÷ 4 = 18 → divisible par 4.
3
Nombres premiers
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
LISTE2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
ATTENTION1 n'est pas premier (un seul diviseur). 2 est le seul nombre premier pair.
4
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier > 1 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.
1Diviser par le plus petit nombre premier possible
2Recommencer avec le quotient jusqu'à obtenir 1
3Écrire le produit (regrouper avec des exposants si besoin)
EXEMPLE60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 (unique)
Cette décomposition est unique : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique.
5
Le PGCD
Le Plus Grand Commun Diviseur de a et b : le plus grand entier qui divise les deux.
1Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
2Repérer les facteurs communs
3Pour chaque facteur commun, prendre le plus petit exposant
4Multiplier ces facteurs
EXEMPLEPGCD(24, 36) : 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3². Communs : 2 (exp. min = 2) et 3 (exp. min = 1). PGCD = 2² × 3 = 12
Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD est 1 : leur fraction est irréductible.
6
Simplifier une fraction avec le PGCD
On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
24/36=2436
EXEMPLEPGCD(24, 36) = 12 → 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3 → 24/36 = 2/3 (fraction irréductible)
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