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MATHS · 3èmeFiche gratuite
📌 Probabilités conditionnelles et loi des grands nombres
Fiche de révision · Points essentiels
L'essentiel à retenir avant le quiz.
1
Probabilité conditionnelle : la formule
P(A|B) se lit « probabilité de A sachant que B est réalisé ».
P(A|B)proba de A sachant B
=
P(A ∩ B)proba de A ET B
/
P(B)proba de B (> 0)
EXEMPLE30 élèves : 18 font du sport, dont 12 font aussi de la musique. P(musique | sport) = 12/18 = 2/3 ≈ 0,67. On se restreint aux 18 sportifs comme nouvel univers.
2
Tableau à double entrée
Le tableau donne directement les effectifs pour calculer une conditionnelle.
1Repère l'événement conditionneur (B) : c'est lui qui fixe le total de la ligne ou colonne.
2Lis l'effectif de A ET B dans la case d'intersection.
3Calcule P(A|B) = effectif(A ET B) / effectif(B).
⚠️ PIÈGEP(musique|sport) = 12/18 ≠ P(sport|musique) = 12/17. Ne pas inverser les deux conditionnelles !
3
Indépendance de deux événements
A et B sont indépendants si la réalisation de B ne change pas la probabilité de A.
Définition·A et B indépendants ⟺ P(A|B) = P(A)
Équivalence·A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
⚠️ ATTENTIONSi P(A|B) ≠ P(A), les événements ne sont pas indépendants. Vérifier les deux côtés de l'équivalence suffit.
4
Arbre de probabilités
Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin.
1Probabilité d'un chemin A puis B : P(A) × P(B|A).
2Probabilité totale de B : P(A)×P(B|A) + P(Ā)×P(B|Ā).
FORMULEP(B) = P(A)×P(B|A) + P(Ā)×P(B|Ā) : c'est la formule des probabilités totales.
5
Loi des grands nombres
Plus on répète une expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.
EXEMPLE6 lancers d'un dé : la fréquence de 6 peut être très loin de 1/6. Après 600 lancers, elle sera très proche de 1/6.
⚠️ PIÈGE : la « dette »Si on n'a pas eu de pile depuis 5 lancers, la probabilité d'obtenir pile au 6e reste 1/2. Les lancers sont indépendants : il n'y a aucune « dette ».
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