Fiche de révision : Probabilités : calculs et arbres

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MATHS · 3èmeFiche gratuite

📌 Probabilités : calculs et arbres

Fiche de révision · Points essentiels

L'essentiel à retenir avant le quiz.

Vocabulaire de base

Une expérience aléatoire produit des issues ; un événement en regroupe une ou plusieurs.

Issue·résultat possible d'une expérience aléatoire (ex : obtenir 4 sur un dé)

Événement·ensemble d'une ou plusieurs issues (ex : obtenir un nombre pair)

Probabilité·nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se réalise

EXEMPLEDé à 6 faces. Événement « pair » = {2, 4, 6}. Probabilité = 3/6 = 1/2.

Réunion et intersection

Deux événements peuvent se combiner avec ou (réunion) ou et (intersection).

A ∩ B·A ET B : réalisé quand A et B le sont en même temps

A ∪ B·A OU B : réalisé dès que A ou B est réalisé

1Calculer P(A), P(B) et P(A ∩ B) séparément

2Appliquer : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

3On soustrait P(A ∩ B) car les issues communes seraient comptées deux fois

EXEMPLEDé : A = pair, B = multiple de 3. A ∩ B = {6}. P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.

Événements incompatibles et contraire

Si A et B ne peuvent pas se produire en même temps, ils sont incompatibles.

RÈGLEIncompatibles → P(A ∩ B) = 0 donc P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Contraire : P(Ā) = 1 − P(A).

💡Pour "au moins un", utilise le contraire "aucun" : P(au moins un) = 1 − P(aucun)

💡Incompatibles ne veut pas dire indépendants : ce sont deux notions différentes

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre.

RÈGLEIndépendants → P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Typiquement : deux lancers successifs ou un tirage avec remise.

ATTENTIONCette multiplication est valable uniquement si les événements sont indépendants. Un tirage sans remise modifie les probabilités : on ne peut pas l'utiliser.

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente les issues successives, chaque branche portant sa probabilité.

1La somme des branches issues d'un même point vaut 1

2La probabilité d'un chemin = produit des probabilités de ses branches

3Si plusieurs chemins mènent au même résultat, on additionne leurs probabilités

EXEMPLEUrne : 2 rouges + 3 vertes, tirage avec remise. P(rouge puis rouge) = 2/5 × 2/5 = 4/25.

Tableau à double entrée

Un tableau à double entrée croise deux caractères ; chaque case donne un effectif.

MÉTHODEProbabilité d'un événement = effectif favorable ÷ effectif total. Pour P(A ∩ B) : lire la case de croisement. Pour P(A) : lire le total de ligne ou de colonne.

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